第10题
求矩阵
$$A=\begin{pmatrix}0&0&5&2\\0&0&2&1\\8&3&0&0\\5&2&0&0\end{pmatrix}$$
的逆矩阵$A^{-1}$。
$$A=\begin{pmatrix}0&0&5&2\\0&0&2&1\\8&3&0&0\\5&2&0&0\end{pmatrix}$$
的逆矩阵$A^{-1}$。
答案
$A^{-1}=\begin{pmatrix}0&0&2&-3\\0&0&-5&8\\1&-2&0&0\\-2&5&0&0\end{pmatrix}$
📖 前置知识梳理
▼
知识点：矩阵求逆。常用求逆公式：1. 二阶矩阵求逆公式：$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix},$$ 口诀为"主对角线互换，副对角线变号，再除以行列式"。2. 分块对角矩阵求逆：$$\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}&0\\0&B^{-1}\end{pmatrix};$$ 反对角分块矩阵求逆：$$\begin{pmatrix}0&A\\B&0\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}0&B^{-1}\\A^{-1}&0\end{pmatrix}.$$ 3. 对角矩阵求逆：主对角线元素直接取倒数；反对角矩阵求逆：反对角线元素取倒数且顺序颠倒。这些公式可以大大简化计算。
📋 解题步骤
1
识别分块结构
▼
该矩阵为分块反对角矩阵
$$A=\begin{pmatrix}0&B\\C&0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix},\ C=\begin{pmatrix}8&3\\5&2\end{pmatrix}.$$
$$A=\begin{pmatrix}0&B\\C&0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix},\ C=\begin{pmatrix}8&3\\5&2\end{pmatrix}.$$
2
计算$B^{-1}$
▼
$$B^{-1}=\frac{1}{|B|}B^*=\frac{1}{5\cdot1-2\cdot2}\begin{pmatrix}1&-2\\-2&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-2\\-2&5\end{pmatrix}.$$
3
计算$C^{-1}$
▼
$$C^{-1}=\frac{1}{|C|}C^*=\frac{1}{8\cdot2-3\cdot5}\begin{pmatrix}2&-3\\-5&8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-3\\-5&8\end{pmatrix}.$$
4
组合得$A^{-1}$
▼
对于$\begin{pmatrix}0&B\\C&0\end{pmatrix}$，有
$$A^{-1}=\begin{pmatrix}0&C^{-1}\\B^{-1}&0\end{pmatrix}.$$
$$\therefore A^{-1}=\begin{pmatrix}0&0&2&-3\\0&0&-5&8\\1&-2&0&0\\-2&5&0&0\end{pmatrix}.$$
$$A^{-1}=\begin{pmatrix}0&C^{-1}\\B^{-1}&0\end{pmatrix}.$$
$$\therefore A^{-1}=\begin{pmatrix}0&0&2&-3\\0&0&-5&8\\1&-2&0&0\\-2&5&0&0\end{pmatrix}.$$
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