第11题
设
$$P=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix},\quad Q=\begin{pmatrix}a_{11}+6a_{31}&a_{13}+6a_{33}&a_{12}+6a_{32}\\a_{21}&a_{23}&a_{22}\\a_{31}&a_{33}&a_{32}\end{pmatrix},$$
求矩阵$P, Q^{-1}$。
答案
$P=\begin{pmatrix}1&0&6\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$; $Q^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}$
📋 解题步骤
1
分析变换关系
▼
观察可知$Q$由$P$经行变换与列变换得到：(1)第3行\times6加到第1行；(2)交换第2列与第3列。即$Q=PAQ$，其中$A$为中间矩阵。
2
确定初等矩阵$P$
▼
行变换'第3行\times6加到第1行'对应左乘
$$P=\begin{pmatrix}1&0&6\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$
3
确定初等矩阵$Q$
▼
列变换'交换第2列与第3列'对应右乘
$$Q=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}.$$
4
求$Q^{-1}$
▼
$Q$为交换列的初等矩阵，满足$Q^2=E$，故
$$Q^{-1}=Q=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}.$$
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