第11题
设
$$P=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix},\quad Q=\begin{pmatrix}a_{11}+6a_{31}&a_{13}+6a_{33}&a_{12}+6a_{32}\\a_{21}&a_{23}&a_{22}\\a_{31}&a_{33}&a_{32}\end{pmatrix},$$
求矩阵$P, Q^{-1}$。
$$P=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix},\quad Q=\begin{pmatrix}a_{11}+6a_{31}&a_{13}+6a_{33}&a_{12}+6a_{32}\\a_{21}&a_{23}&a_{22}\\a_{31}&a_{33}&a_{32}\end{pmatrix},$$
求矩阵$P, Q^{-1}$。
答案
$P=\begin{pmatrix}1&0&6\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$; $Q^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}$
📖 前置知识梳理
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本题考查初等矩阵与初等变换的对应关系。核心思路：左乘初等矩阵对应行变换，右乘初等矩阵对应列变换。三种初等矩阵分别为：$E(i,j)$（交换两行/列）、$E(i(k))$（第 $i$ 行/列乘以 $k$）、$E(ij(k))$（第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行）。初等矩阵的逆：$E(i,j)^{-1}=E(i,j)$，$E(i(k))^{-1}=E(i(\frac{1}{k}))$，$E(ij(k))^{-1}=E(ij(-k))$。方法二是从 $B$ 反推回 $A$：$B$ 先做行变换 $r_1-6r_3$ 再做列变换 $c_2 \leftrightarrow c_3$ 得到 $A$，即 $\begin{pmatrix}1&0&-6\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} B \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix} = A$，从而 $B = \begin{pmatrix}1&0&6\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} A \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}$。
📋 解题步骤
1
分析变换关系
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观察可知$Q$由$P$经行变换与列变换得到：(1)第3行$\times 6$加到第1行；(2)交换第2列与第3列。即$Q=PAQ$，其中$A$为中间矩阵。
2
确定初等矩阵$P$
▼
行变换'第3行$\times 6$加到第1行'对应左乘
$$P=\begin{pmatrix}1&0&6\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$
$$P=\begin{pmatrix}1&0&6\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$
3
确定初等矩阵$Q$
▼
列变换'交换第2列与第3列'对应右乘
$$Q=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}.$$
$$Q=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}.$$
4
求$Q^{-1}$
▼
$Q$为交换列的初等矩阵，满足$Q^2=E$，故
$$Q^{-1}=Q=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}.$$
$$Q^{-1}=Q=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}.$$
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