第12题
(1) 已知矩阵$A=\begin{pmatrix}1&4&-4\\5&2&7\\4&x&-4\end{pmatrix}$的秩是2，求$x$。
(2) 矩阵$B=\begin{pmatrix}1&5&25\\1&y&y^2\\1&-6&36\end{pmatrix}$，若$R(B)
eq3$，求$R(B), y$，并求当$y=8$时$R(BA)=$______。
答案
(1) $x=8$; (2) $R(B)=2, y=5$ 或 $y=-6$; 当$y=8$时$R(BA)=2$
📋 解题步骤
1
求$x$
▼
由$R(A)=2$知$|A|=0$。行变换后计算得
$$|A|=\begin{vmatrix}1&4&-4\\0&-18&27\\0&x-16&12\end{vmatrix}=(-18)(12)-27(x-16)=0,$$
整理得$-27(x-8)=0$，故$x=8$。
2
求$R(B), y$
▼
$B$为范德蒙德形式，
$$|B|=(-6-5)(-6-y)(y-5)=-11(y+6)(y-5).$$
若$R(B)
eq3$，则$|B|=0$，得$y=5$或$y=-6$。又因$\begin{vmatrix}1&5\\1&-6\end{vmatrix}=-11
eq0$，故$R(B)\ge2$，故$R(B)=2$。
3
求$y=8$时的$R(BA)$
▼
当$y=8$时，$|B|=-11\cdot(-14)\cdot3
eq0$，$B$可逆。根据秩的性质，若$B$可逆，则$R(BA)=R(A)=2$。
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