第12题
(1) 已知矩阵$A=\begin{pmatrix}1&4&-4\\5&2&7\\4&x&-4\end{pmatrix}$的秩是2，求$x$。
(2) 矩阵$B=\begin{pmatrix}1&5&25\\1&y&y^2\\1&-6&36\end{pmatrix}$，若$R
(B)\neq3$，求$R(B), y$，并求当$y=8$时$R(BA)=$______。
(2) 矩阵$B=\begin{pmatrix}1&5&25\\1&y&y^2\\1&-6&36\end{pmatrix}$，若$R
(B)\neq3$，求$R(B), y$，并求当$y=8$时$R(BA)=$______。
答案
(1) $x=8$; (2) $R(B)=2, y=5$ 或 $y=-6$; 当$y=8$时$R(BA)=2$
📖 前置知识梳理
▼
矩阵秩的定义：最高阶非零子式的阶数称为矩阵的秩。对于 $n$ 阶方阵，$|A| \neq 0 \Leftrightarrow R
(A)=n \Leftrightarrow A$ 可逆；$|A|=0 \Leftrightarrow R(A)<n \Leftrightarrow A$ 不可逆。初等行（列）变换不改变矩阵的秩。矩阵秩的计算方法：将 $A$ 经行变换化为行阶梯矩阵，非零行的行数即为秩。秩的重要性质：$0 \leq R(A_{m\times n}) \leq \min\{m,n\}$；若 $P$ 可逆，则 $R(PA)=R(A)$，$R(AP)=R(A)$。
(A)=n \Leftrightarrow A$ 可逆；$|A|=0 \Leftrightarrow R(A)<n \Leftrightarrow A$ 不可逆。初等行（列）变换不改变矩阵的秩。矩阵秩的计算方法：将 $A$ 经行变换化为行阶梯矩阵，非零行的行数即为秩。秩的重要性质：$0 \leq R(A_{m\times n}) \leq \min\{m,n\}$；若 $P$ 可逆，则 $R(PA)=R(A)$，$R(AP)=R(A)$。
📋 解题步骤
1
求$x$
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由$R(A)=2$知$|A|=0$。行变换后计算得
$$|A|=\begin{vmatrix}1&4&-4\\0&-18&27\\0&x-16&12\end{vmatrix}=(-18)(12)-27(x-16)=0,$$
整理得$-27(x-8)=0$，故$x=8$。
$$|A|=\begin{vmatrix}1&4&-4\\0&-18&27\\0&x-16&12\end{vmatrix}=(-18)(12)-27(x-16)=0,$$
整理得$-27(x-8)=0$，故$x=8$。
2
求$R(B), y$
▼
$B$为范德蒙德形式，
$$|B|=(-6-5)(-6-y)(y-5)=-11(y+6)(y-5).$$
若$R
(B)\neq3$，则$|B|=0$，得$y=5$或$y=-6$。又因$\begin{vmatrix}1&5\\1&-6\end{vmatrix}=-11\neq0$，故$R(B)\ge2$，故$R(B)=2$。
$$|B|=(-6-5)(-6-y)(y-5)=-11(y+6)(y-5).$$
若$R
(B)\neq3$，则$|B|=0$，得$y=5$或$y=-6$。又因$\begin{vmatrix}1&5\\1&-6\end{vmatrix}=-11\neq0$，故$R(B)\ge2$，故$R(B)=2$。
3
求$y=8$时的$R(BA)$
▼
当$y=8$时，$|B|=-11\cdot(-14)\cdot3\neq0$，$B$可逆。根据秩的性质，若$B$可逆，则$R(BA)=R
(A)=2$。
(A)=2$。
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