真题库 期末复习 知识点 随机一题
第13题
当参数$\mu$取何值时，线性方程组 $$\begin{cases}x_1+\mu x_2+x_3=\mu\\x_1+x_2+\mu x_3=\mu^2\\\mu x_1+(\mu+3)x_2+x_3=-2\end{cases}$$ (1) 无解；(2) 有唯一解；(3) 有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解。
答案
唯一解：$\mu eq1$且$\mu eq\pm2$；无解：$\mu=2$；无穷多解：$\mu=1$或$\mu=-2$
克拉默法则 行列式 线性方程组的解的判定 通解 初等行变换

📋 解题步骤

1
计算系数行列式
▼
$$|A|=\begin{vmatrix}1&\mu&1\\1&1&\mu\\\mu&\mu+3&1\end{vmatrix}=(1-\mu)(4-\mu^2)=(1-\mu)(2-\mu)(2+\mu).$$
2
唯一解
▼
当$|A| eq0$，即$\mu eq1$且$\mu eq\pm2$时，方程组有唯一解。
3
$\mu=1$ 时
▼
增广矩阵化为$\begin{pmatrix}1&0&1&2\\0&1&0&-1\\0&0&0&0\end{pmatrix}$，$r(A)=r(\bar{A})=2<3$，有无穷多解。通解为 $$X=\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix},\quad k\in\mathbb{R}.$$
4
$\mu=2$ 时
▼
增广矩阵化为$\begin{pmatrix}1&2&1&2\\0&-1&1&2\\0&0&0&-2\end{pmatrix}$，$r(A)=2
5
$\mu=-2$ 时
▼
增广矩阵化简后$r(A)=r(\bar{A})=2<3$，有无穷多解。通解为 $$X=\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\quad k\in\mathbb{R}.$$
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