第13题
当参数$\mu$取何值时，线性方程组
$$\begin{cases}x_1+\mu x_2+x_3=\mu\\x_1+x_2+\mu x_3=\mu^2\mu x_1+(\mu+3)x_2+x_3=-2\end{cases}$$
(1) 无解；(2) 有唯一解；(3) 有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解。
$$\begin{cases}x_1+\mu x_2+x_3=\mu\\x_1+x_2+\mu x_3=\mu^2\mu x_1+(\mu+3)x_2+x_3=-2\end{cases}$$
(1) 无解；(2) 有唯一解；(3) 有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解。
答案
唯一解：$\mu\neq1$且$\mu\neq\pm2$；无解：$\mu=2$；无穷多解：$\mu=1$或$\mu=-2$
📖 前置知识梳理
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含未知参数的非齐次方程组通解讨论有两种方法。方法一（行列式法）：先计算 $|A|$，当 $|A| \neq 0$ 时方程组有唯一解；当 $|A|=0$ 时把相应参数代入方程组写出增广矩阵 $\bar{A}=(A,b)$，判断 $R
(A)$ 与 $R(\bar{A})$ 的关系：若 $R(A)=R(\bar{A})<n$ 则有无穷多解，若 $R(A)<R(\bar{A})$ 则无解。优点：参数讨论清晰、简单；缺点：只适用于系数矩阵为方阵。方法二（初等行变换法）：直接对增广矩阵 $(A|b)$ 做行变换化为行阶梯矩阵，再讨论参数。优点：无论系数矩阵是否为方阵都可以用；缺点：计算麻烦，存在参数讨论混合的情况。
(A)$ 与 $R(\bar{A})$ 的关系：若 $R(A)=R(\bar{A})<n$ 则有无穷多解，若 $R(A)<R(\bar{A})$ 则无解。优点：参数讨论清晰、简单；缺点：只适用于系数矩阵为方阵。方法二（初等行变换法）：直接对增广矩阵 $(A|b)$ 做行变换化为行阶梯矩阵，再讨论参数。优点：无论系数矩阵是否为方阵都可以用；缺点：计算麻烦，存在参数讨论混合的情况。
📋 解题步骤
1
计算系数行列式
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$$|A|=\begin{vmatrix}1&\mu&1\\1&1&\mu\mu&\mu+3&1\end{vmatrix}=(1-\mu)(4-\mu^2)=(1-\mu)(2-\mu)(2+\mu).$$
2
唯一解
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当$|A|\neq0$，即$\mu\neq1$且$\mu\neq\pm2$时，方程组有唯一解。
3
$\mu=1$ 时
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增广矩阵化为$\begin{pmatrix}1&0&1&2\\0&1&0&-1\\0&0&0&0\end{pmatrix}$，$r
(A)=r(\bar{A})=2<3$，有无穷多解。通解为
$$X=\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix},\quad k\in\mathbb{R}.$$
(A)=r(\bar{A})=2<3$，有无穷多解。通解为
$$X=\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix},\quad k\in\mathbb{R}.$$
4
$\mu=2$ 时
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增广矩阵化为$\begin{pmatrix}1&2&1&2\\0&-1&1&2\\0&0&0&-2\end{pmatrix}$，$r
(A)=2<r(\bar{A})=3$，方程组无解。
(A)=2<r(\bar{A})=3$，方程组无解。
5
$\mu=-2$ 时
▼
增广矩阵化简后$r(A)=r(\bar{A})=2<3$，有无穷多解。通解为
$$X=\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\quad k\in\mathbb{R}.$$
$$X=\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\quad k\in\mathbb{R}.$$
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