设$k_1\beta_1+k_2\beta_2+\cdots+k_r\beta_r=0$，代入整理得 $$(k_1+k_2+\cdots+k_r)\alpha_1+(k_2+\cdots+k_r)\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r=0.$$ 因$\alpha_1,\cdots,\alpha_r$线性无关，得 $$\begin{cases}k_1+k_2+\cdots+k_r=0\\k_2+\cdots+k_r=0\\\vdots\\k_r=0\end{cases}$$ 其系数行列式为$\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\0&1&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{vmatrix}=1 eq0$，故只有零解$k_1=k_2=\cdots=k_r=0$。

$$(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_r)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r)K,$$ 其中 $$K=\begin{pmatrix}1&1&\cdots&1\\0&1&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{pmatrix}.$$ $|K|=1 eq0$，故$K$可逆，$R(\beta_1,\cdots,\beta_r)=R(\alpha_1,\cdots,\alpha_r)=r$。因此$\beta_1,\cdots,\beta_r$线性无关。