第14题
设$\beta_1=\alpha_1, \beta_2=\alpha_1+\alpha_2, \cdots, \beta_r=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_r$，且向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$线性无关，证明向量组$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_r$线性无关。
答案
$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_r$线性无关。
📖 前置知识梳理
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向量组线性相关性的定义：若 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0$ 当且仅当 $k_1=k_2=\cdots=k_m=0$，则称 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$ 线性无关；若存在不全为零的系数使等式成立，则称线性相关。证明思路有两种：方法一（定义法）——利用已知条件证明系数是否全为零，判别相关性；或求解以 $(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m)$ 为系数矩阵的方程只有零解还是有非零解。方法二（秩法）——利用向量组的秩：$R(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m)=m$ 则线性无关；$R(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m)<m$ 则线性相关。
📋 解题步骤
1
方法一：定义法
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设$k_1\beta_1+k_2\beta_2+\cdots+k_r\beta_r=0$，代入整理得
$$(k_1+k_2+\cdots+k_r)\alpha_1+(k_2+\cdots+k_r)\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r=0.$$
因$\alpha_1,\cdots,\alpha_r$线性无关，得
$$\begin{cases}k_1+k_2+\cdots+k_r=0\\k_2+\cdots+k_r=0\vdots\\k_r=0\end{cases}$$
其系数行列式为$\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\0&1&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{vmatrix}=1\neq0$，故只有零解$k_1=k_2=\cdots=k_r=0$。
$$(k_1+k_2+\cdots+k_r)\alpha_1+(k_2+\cdots+k_r)\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r=0.$$
因$\alpha_1,\cdots,\alpha_r$线性无关，得
$$\begin{cases}k_1+k_2+\cdots+k_r=0\\k_2+\cdots+k_r=0\vdots\\k_r=0\end{cases}$$
其系数行列式为$\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\0&1&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{vmatrix}=1\neq0$，故只有零解$k_1=k_2=\cdots=k_r=0$。
2
方法二：矩阵法
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$$(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_r)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r)K,$$
其中
$$K=\begin{pmatrix}1&1&\cdots&1\\0&1&\cdots&1\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{pmatrix}.$$
$|K|=1\neq0$，故$K$可逆，$R(\beta_1,\cdots,\beta_r)=R(\alpha_1,\cdots,\alpha_r)=r$。因此$\beta_1,\cdots,\beta_r$线性无关。
其中
$$K=\begin{pmatrix}1&1&\cdots&1\\0&1&\cdots&1\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{pmatrix}.$$
$|K|=1\neq0$，故$K$可逆，$R(\beta_1,\cdots,\beta_r)=R(\alpha_1,\cdots,\alpha_r)=r$。因此$\beta_1,\cdots,\beta_r$线性无关。
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