第15题
向量组$\alpha_1=(1,1,-5,-5)^T, \alpha_2=(2,1,3,2)^T, \alpha_3=(-3,-2,3,4)^T, \alpha_4=(1,0,8,7)^T, \alpha_5=(7,4,3,0)^T$。计算向量组$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5)$的秩$R_A$；求$A$一个最大无关组$A_m$，并将其余向量用最大无关组$A_m$线性表示。
答案
$R_A=3$；最大无关组为$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$；$\alpha_4=-\alpha_1+\alpha_2$, $\alpha_5=2\alpha_2-\alpha_3$。
📖 前置知识梳理
▼
最大无关组的定义：① 线性无关；② 增加向量组中其余向量必相关。向量组的秩定义为最大无关组中所含向量的个数。求最大无关组的方法：将向量组按列排成矩阵，通过初等行变换化为行最简形，主元所在的列对应的原向量即为一个最大无关组。其余向量的线性表示系数可直接从行最简形中读出。注意：求线性表示时，将 $(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 | \alpha_4)$ 化为行最简形即可直接得到系数。
📋 解题步骤
1
构造矩阵并行变换
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$$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5)=\begin{pmatrix}1&2&-3&1&7\\1&1&-2&0&4\\-5&3&3&8&3\\-5&2&4&7&0\end{pmatrix}$$
经行变换化为行最简形
$$\begin{pmatrix}1&0&0&-1&0\\0&1&0&1&2\\0&0&1&0&-1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}.$$
经行变换化为行最简形
$$\begin{pmatrix}1&0&0&-1&0\\0&1&0&1&2\\0&0&1&0&-1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}.$$
2
确定秩与最大无关组
▼
非零行有3行，故$R(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5)=3$。主元位于第1、2、3列，故$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$为一个最大无关组。
3
线性表示
▼
由行最简形可知
$$\alpha_4=-\alpha_1+\alpha_2,\quad\alpha_5=2\alpha_2-\alpha_3.$$
$$\alpha_4=-\alpha_1+\alpha_2,\quad\alpha_5=2\alpha_2-\alpha_3.$$
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