第16题
设$\eta_1,\eta_2$为$Ax=\beta\ (\beta\neq0)$的两个解向量，$v_1,v_2,\cdots,v_r$是$Ax=0$的基础解系，$x$为$n$维列向量$(0<r<n)$。向量组$\{v_1,v_2,\cdots,v_r,\eta_1+\eta_2\}$的秩为______；方程组$3\beta+A(x+v_1-\eta_1)=0$的通解为：______。
答案
秩为$r+1$；通解为$x=k_1v_1+\cdots+k_rv_r-2\eta_1\ (k_i\in\mathbb{R})$。
📖 前置知识梳理
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线性方程组解的结构：1. 若 $A\eta_1 = b, A\eta_2 = b$，则 $A(\eta_1 - \eta_2) = 0$，$A(\eta_1 + \eta_2) = 2b$。2. 若 $A\xi_1 = 0, A\xi_2 = 0$，则 $A(k_1\xi_1 + k_2\xi_2) = 0$。3. $A_{m\times n}x = 0$，$R
(A) = r$，则基础解系含有 $n - r$ 个无关的解向量。基础解系满足：① 是解（齐次）；② 线性无关；③ 个数为 $n - R(A)$ 个。
(A) = r$，则基础解系含有 $n - r$ 个无关的解向量。基础解系满足：① 是解（齐次）；② 线性无关；③ 个数为 $n - R(A)$ 个。
📋 解题步骤
1
求向量组的秩
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因$\eta_1,\eta_2$是$Ax=\beta$的解，故$A(\eta_1+\eta_2)=2\beta\neq0$。
因此$\eta_1+\eta_2$不是$Ax=0$的解，不能由$v_1,\cdots,v_r$线性表示。
$\therefore R(v_1,v_2,\cdots,v_r,\eta_1+\eta_2)=r+1$。
因此$\eta_1+\eta_2$不是$Ax=0$的解，不能由$v_1,\cdots,v_r$线性表示。
$\therefore R(v_1,v_2,\cdots,v_r,\eta_1+\eta_2)=r+1$。
2
化简方程并求解
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展开$3\beta+A(x+v_1-\eta_1)=0$得
$$3\beta+Ax+Av_1-A\eta_1=0.$$
因$Av_1=0, A\eta_1=\beta$，代入得$Ax=-2\beta$。
$$3\beta+Ax+Av_1-A\eta_1=0.$$
因$Av_1=0, A\eta_1=\beta$，代入得$Ax=-2\beta$。
3
写出通解
▼
$\eta_1$满足$A\eta_1=\beta$，故$A(-2\eta_1)=-2\beta$，即$-2\eta_1$为特解。
对应齐次方程基础解系为$v_1,v_2,\cdots,v_r$。
$\therefore$ 通解为
$$x=k_1v_1+k_2v_2+\cdots+k_rv_r-2\eta_1,\quad k_1,k_2,\cdots,k_r\in\mathbb{R}.$$
对应齐次方程基础解系为$v_1,v_2,\cdots,v_r$。
$\therefore$ 通解为
$$x=k_1v_1+k_2v_2+\cdots+k_rv_r-2\eta_1,\quad k_1,k_2,\cdots,k_r\in\mathbb{R}.$$
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