第17题
方阵$A=\begin{pmatrix}x&\dfrac{1}{\sqrt{2}}&\dfrac{1}{\sqrt{6}}\\\dfrac{1}{\sqrt{3}}&-\dfrac{1}{\sqrt{2}}&y\\\dfrac{1}{\sqrt{3}}&0&z\end{pmatrix}$是正交矩阵，求$x,y,z$的值。
答案
$x=\dfrac{1}{\sqrt{3}},\ y=\dfrac{1}{\sqrt{6}},\ z=-\dfrac{2}{\sqrt{6}}$。
📖 前置知识梳理
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正交矩阵的定义：$A_n$ 若满足 $A^T A = E$ 或 $A A^T = E$ 或 $A^T = A^{-1}$，则称 $A$ 为正交矩阵。正交矩阵的重要性质：行（列）向量均两两正交，且长度为1。利用这两个性质可以确定正交矩阵中的未知元素。注意：先利用长度条件确定可能的正负号，再利用正交条件确定具体的符号。
📋 解题步骤
1
利用行列长度为1
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正交矩阵的每行、每列长度均为1：
第1列：$x^2+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=1\Rightarrow x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}$；
第2行：$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}+y^2=1\Rightarrow y=\pm\dfrac{1}{\sqrt{6}}$；
第3行：$\dfrac{1}{3}+0+z^2=1\Rightarrow z=\pm\dfrac{2}{\sqrt{6}}$。
第1列：$x^2+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=1\Rightarrow x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}$；
第2行：$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}+y^2=1\Rightarrow y=\pm\dfrac{1}{\sqrt{6}}$；
第3行：$\dfrac{1}{3}+0+z^2=1\Rightarrow z=\pm\dfrac{2}{\sqrt{6}}$。
2
利用正交性确定符号
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由第1、2列正交：$\dfrac{x}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{6}}=0\Rightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$；
由第2、3列正交：$\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{6}}-\dfrac{y}{\sqrt{2}}=0\Rightarrow y=\dfrac{1}{\sqrt{6}}$；
由第1、3行正交（代入$x$）：$\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{6}}z=0\Rightarrow z=-\dfrac{2}{\sqrt{6}}$。
由第2、3列正交：$\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{6}}-\dfrac{y}{\sqrt{2}}=0\Rightarrow y=\dfrac{1}{\sqrt{6}}$；
由第1、3行正交（代入$x$）：$\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{6}}z=0\Rightarrow z=-\dfrac{2}{\sqrt{6}}$。
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