第18题
设三阶矩阵$A$有特征值$-2,1,2$，则矩阵$B=A^2+A^*-2A^{-1}+4E$的特征值为______；行列式$|B|=$______。
答案
特征值为$11,-1,5$＜$|B|=-55$。
📖 前置知识梳理
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特征值的重要性质：1. $A\alpha = \lambda\alpha$（$\alpha \neq 0$），$\lambda$ 称为 $A$ 的特征值，$\alpha$ 为属于 $\lambda$ 的特征向量。2. 特征值的性质：$\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}$（迹），$\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n = |A|$（行列式）。3. 若 $A\alpha = \lambda\alpha$（$\alpha \neq 0$），则 $\varphi
(A)\alpha = \varphi(\lambda)\alpha$。例如：$kA \to k\lambda$，$A^m \to \lambda^m$，$A^{-1} \to \frac{1}{\lambda}$，$A^* \to \frac{|A|}{\lambda}$。
(A)\alpha = \varphi(\lambda)\alpha$。例如：$kA \to k\lambda$，$A^m \to \lambda^m$，$A^{-1} \to \frac{1}{\lambda}$，$A^* \to \frac{|A|}{\lambda}$。
📋 解题步骤
1
确定$B$的特征值表达式
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$|A|=(-2)\times1\times2=-4$。当$A$可逆时，$A^*$的特征值为$\dfrac{|A|}{\lambda}$，$A^{-1}$的特征值为$\dfrac{1}{\lambda}$。
故$B=A^2+A^*-2A^{-1}+4E$对应特征值为
$$\lambda^2+\frac{|A|}{\lambda}-\frac{2}{\lambda}+4=\frac{\lambda^3+4\lambda-6}{\lambda}.$$
故$B=A^2+A^*-2A^{-1}+4E$对应特征值为
$$\lambda^2+\frac{|A|}{\lambda}-\frac{2}{\lambda}+4=\frac{\lambda^3+4\lambda-6}{\lambda}.$$
2
计算$B$的各个特征值
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$\lambda_1=-2$时：$(-2)^2+\dfrac{-4}{-2}-\dfrac{2}{-2}+4=4+2+1+4=11$；
$\lambda_2=1$时：$1^2+\dfrac{-4}{1}-\dfrac{2}{1}+4=1-4-2+4=-1$；
$\lambda_3=2$时：$2^2+\dfrac{-4}{2}-\dfrac{2}{2}+4=4-2-1+4=5$。
$\lambda_2=1$时：$1^2+\dfrac{-4}{1}-\dfrac{2}{1}+4=1-4-2+4=-1$；
$\lambda_3=2$时：$2^2+\dfrac{-4}{2}-\dfrac{2}{2}+4=4-2-1+4=5$。
3
计算$|B|$
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矩阵的行列式等于其全部特征值之积，故
$$|B|=11\times(-1)\times5=-55.$$
$$|B|=11\times(-1)\times5=-55.$$
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