第18题
设三阶矩阵$A$有特征值$-2,1,2$，则矩阵$B=A^2+A^*-2A^{-1}+4E$的特征值为______；行列式$|B|=$______。
答案
特征值为$11,-1,5$＜$|B|=-55$。
📋 解题步骤
1
确定$B$的特征值表达式
▼
$|A|=(-2)\times1\times2=-4$。当$A$可逆时，$A^*$的特征值为$\dfrac{|A|}{\lambda}$，$A^{-1}$的特征值为$\dfrac{1}{\lambda}$。
故$B=A^2+A^*-2A^{-1}+4E$对应特征值为
$$\lambda^2+\frac{|A|}{\lambda}-\frac{2}{\lambda}+4=\frac{\lambda^3+4\lambda-6}{\lambda}.$$
2
计算$B$的各个特征值
▼
$\lambda_1=-2$时：$(-2)^2+\dfrac{-4}{-2}-\dfrac{2}{-2}+4=4+2+1+4=11$；
$\lambda_2=1$时：$1^2+\dfrac{-4}{1}-\dfrac{2}{1}+4=1-4-2+4=-1$；
$\lambda_3=2$时：$2^2+\dfrac{-4}{2}-\dfrac{2}{2}+4=4-2-1+4=5$。
3
计算$|B|$
▼
矩阵的行列式等于其全部特征值之积，故
$$|B|=11\times(-1)\times5=-55.$$
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