第五章 相似矩阵及二次型
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题型1：特征值与特征向量的计算
求法：①解 $|A-\lambda E|=0$ 得特征值；②对每个 $\lambda$，解 $(A-\lambda
E)X=0$ 得特征向量
特征值性质
$\sum\lambda_i=\operatorname{tr}
(A)$；$\prod\lambda_i=|A|$；$A$可逆$\Leftrightarrow$所有$\lambda_i\neq0$
(A)$；$\prod\lambda_i=|A|$；$A$可逆$\Leftrightarrow$所有$\lambda_i\neq0$
例1：求特征值与特征向量
求 $A=\begin{pmatrix}3&1&0\\-4&-1&0\\4&-8&-2\end{pmatrix}$ 的特征值和特征向量。
$|A-\lambda E|=-(\lambda+2)(\lambda-1)^2=0$，$\lambda_1=-2$，$\lambda_2=\lambda_3=1$。分别解 $(A-\lambda
E)X=0$ 得特征向量。
E)X=0$ 得特征向量。
例2：利用特征值性质
3阶实对称阵 $A$ 各行元素之和为3，$\alpha_1=(-1,2,-1)^T,\alpha_2=(0,-1,1)^T$ 都是 $AX=0$ 的解。求 $A$ 的特征值和特征向量。
各行和为3$\Rightarrow A(1,1,1)^T=3(1,1,1)^T$，$\lambda_1=3$，对应特征向量$(1,1,1)^T$。$\alpha_1,\alpha_2$是$AX=0$的解$\Rightarrow\lambda_2=\lambda_3=0$，$\alpha_1,\alpha_2$是其线性无关的特征向量。
例3：已知特征值求相关量
3阶方阵 $A$ 的特征值为 $0,1,2$，求 $R
(A)$、$|A^TA|$、$|A^*-E|$。
(A)$、$|A^TA|$、$|A^*-E|$。
$\lambda=0$是特征值$\Rightarrow|A|=0$，$R
(A)<3$；$\lambda=1,2\neq0$，$R(A)\geq2$；故$R(A)=2$。$|A^TA|=|A^T||A|=0$。$A^*$特征值为$|A|/\lambda$（不为零时）。
(A)<3$；$\lambda=1,2\neq0$，$R(A)\geq2$；故$R(A)=2$。$|A^TA|=|A^T||A|=0$。$A^*$特征值为$|A|/\lambda$（不为零时）。
题型2：矩阵的相似对角化
$P^{-1}AP=\Lambda$。相似矩阵性质：同特征值、同行列式、同迹、同秩。$A$可对角化$\Leftrightarrow$有$n$个线性无关的特征向量。
题型3：二次型化标准形（重点）
正交变换法步骤：①写实对称阵$A$；②求$A$特征值$\lambda_i$和特征向量；③正交化、单位化；④得正交阵$P$，$X=PY$，$f=\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2$。
例5：正交变换化标准形
用正交变换化 $f(x_1,x_2,x_3)=3x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3+3x_2^2+2x_2x_3+3x_3^2$ 为标准形。
$A=\begin{pmatrix}3&1&1\\1&3&1\\1&1&3\end{pmatrix}$。$|A-\lambda E|=(\lambda-2)^2(\lambda-5)=0$，$\lambda_1=\lambda_2=2,\lambda_3=5$。求特征向量、正交化、单位化得$P$，标准形$f=2y_1^2+2y_2^2+5y_3^2$。
题型4：正定二次型的判定
三种判定法：①标准形$n$个系数全为正；②$A$特征值全大于零；③霍尔维茨定理：各阶顺序主子式全大于零。
题型5：正交矩阵的相关计算
正交矩阵：$A^TA=E$（即$A^{-1}=A^T$）。判定：各列(行)为单位向量且两两正交。性质：$|A|=\pm1$；$A^{-1}=A^T$也是正交阵。
例4：相似对角化的条件
判断矩阵是否可相似对角化。已知 $A$ 的特征值和特征向量，问 $A$ 是否可对角化，并求 $P$ 使 $P^{-1}AP=\Lambda$。
$A_n$ 可对角化 $\Leftrightarrow$ $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。充分条件：$A$ 有 $n$ 个互异的特征值。实对称矩阵必可正交对角化。若特征值有重根，需检查重根对应的特征向量是否线性无关（即几何重数=代数重数）。
例6：正定二次型的判定
判断二次型是否为正定二次型。
三种判定方法：(1)标准形的 $n$ 个系数全为正，即正惯性指数 $=n$。(2)$A$ 的特征值全大于零。(3)霍尔维茨定理：$A$ 的各阶顺序主子式全大于零：$a_{11}>0$，$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}>0$，…，$|A|>0$。
例7：正交矩阵的性质
若实正交阵 $A=(a_{ij})_{3\times3}$，$a_{11}=-1$，向量 $\alpha=(-2,0,0)^T$，求 $A\alpha$ 的模长。
$A$ 为正交阵 $\Leftrightarrow A^TA=E$。正交变换保内积、保长度：$\|A\alpha\|=\|\alpha\|=\sqrt{(-2)^2+0+0}=2$。性质：正交阵行列式 $|A|=\pm1$；$A^{-1}=A^T$ 也是正交阵；各列（行）为单位向量且两两正交。
📝 知识点总结
第五章复习特征值与二次型：特征值/特征向量计算与性质；矩阵相似对角化条件；正交变换化二次型为标准形（重点）；正定二次型三种判定法；正交矩阵定义与性质。
第四章 向量组的线性相关性
已是最后一节