第四章 向量组的线性相关性
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题型1：向量组线性相关性的判定
三种判定方法
方法一（定义法）：令 $k_1\alpha_1+\cdots+k_m\alpha_m=0$，只有零解则无关。
方法二（秩法）：以向量为列作矩阵 $A$，$R
(A)=m$则无关。
方法三（行列式法）：$A$为方阵时，$|A|\neq0\Leftrightarrow$无关。
方法二（秩法）：以向量为列作矩阵 $A$，$R
(A)=m$则无关。
方法三（行列式法）：$A$为方阵时，$|A|\neq0\Leftrightarrow$无关。
例1：定义法判定
若 $a_1,a_2,\ldots,a_m$ 线性无关，$b_1=a_1+a_2$，$b_2=a_2+a_3$，…，$b_m=a_m+a_1$。讨论 $b_1,\ldots,b_m$ 的线性相关性。
令 $k_1b_1+\cdots+k_mb_m=0$，代入得 $(k_1+k_m)a_1+(k_1+k_2)a_2+\cdots+(k_{m-1}+k_m)a_m=0$。$a_i$无关，故系数全零。$m$为偶数时有非零解（相关），$m$为奇数时仅零解（无关）。
例2：行列式法判定
讨论 $\alpha_1=(1+a,1,1,1)^T$，$\alpha_2=(2,2+a,2,2)^T$，$\alpha_3=(3,3,3+a,3)^T$，$\alpha_4=(4,4,4,4+a)^T$ 的线性相关性。
$|A|=a^3(a+10)$。$a\neq0,-10$时$|A|\neq0$，无关；$a=0$或$-10$时$|A|=0$，相关。
题型2：求向量组的秩与最大无关组
方法：$A=(\alpha_1,\ldots,\alpha_m)\xrightarrow{\text{行变换}}$行阶梯形 $\rightarrow$ 行最简形。秩=非零行数。
题型3：线性方程组解的结构
齐次$AX=0$：若$R(A)=r<n$，基础解系含$n-r$个向量。非齐次$AX=b$：通解=特解+导出组通解。
例5：各行和与通解
$m$阶矩阵 $A$ 各行元素之和均为0，$R
(A)=m-1$，求 $AX=0$ 的通解。
(A)=m-1$，求 $AX=0$ 的通解。
$A(1,1,\ldots,1)^T=0$，故 $(1,1,\ldots,1)^T$ 是一个非零解。$R
(A)=m-1$，基础解系含1个向量。通解 $X=k(1,1,\ldots,1)^T$。
(A)=m-1$，基础解系含1个向量。通解 $X=k(1,1,\ldots,1)^T$。
例6：利用解的结构
$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是4元非齐次方程组$AX=b$的三个解，$R
(A)=3$，$\alpha_1=(1,2,3,4)^T$，$\alpha_2+\alpha_3=(0,1,2,3)^T$。求通解。
(A)=3$，$\alpha_1=(1,2,3,4)^T$，$\alpha_2+\alpha_3=(0,1,2,3)^T$。求通解。
$n=4,r=3$，导出组基础解系含1个向量。$\alpha_1$是特解。$(\alpha_2+\alpha_3)-2\alpha_1$是$AX=0$的解。通解$X=(1,2,3,4)^T+k(-2,-3,-4,-5)^T$。
题型4：与向量组秩相关的证明
例8：伴随矩阵的秩
证明 $R(A^*)=\begin{cases}n,&R
(A)=n\\1,&R(A)=n-1\\0,&R(A)\leq n-2\end{cases}$（$n\geq2$）。
(A)=n\\1,&R(A)=n-1\\0,&R(A)\leq n-2\end{cases}$（$n\geq2$）。
(1)$R(A)=n$：$A^*$可逆，$R(A^*)=n$。(2)$R(A)=n-1$：$AA^*=|A|E=0$，$R(A)+R(A^*)\leq n$，得$R(A^*)\leq1$；又$A$有$n-1$阶非零子式，$A^*\neq O$，$R(A^*)\geq1$。故$R(A^*)=1$。(3)$R(A)\leq n-2$：所有$n-1$阶子式为零，$A^*=O$。
例3：求列向量组的秩和最大无关组
$A=\begin{pmatrix}1&2&5&5&1\\-2&1&0&-5&3\\3&-1&1&8&1\\2&2&6&8&0\end{pmatrix}$，(1)求 $A$ 的列向量组的秩和一个最大无关组；(2)将其余向量用最大无关组线性表示。
对 $A$ 做初等行变换：$r_2+2r_1$，$r_3-3r_1$，$r_4-2r_1$，…化为行阶梯形和行最简形。秩=非零行数=主元列数。最大无关组取对应主元列的向量，其余列向量由主元列的线性组合表示。
例4：非齐次方程组的通解结构
求解非齐次线性方程组，写出通解（特解+导出组基础解系）。
通解=$\eta^*+k_1\xi_1+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}$。其中 $\eta^*$ 为一个特解，$\xi_1,\ldots,\xi_{n-r}$ 为 $AX=0$ 的基础解系（$R
(A)=r$，基础解系含 $n-r$ 个线性无关向量）。
(A)=r$，基础解系含 $n-r$ 个线性无关向量）。
例7：$R(A,\beta)$ 的计算
设 $V_1,V_2,\ldots,V_r$ 是 $AX=0$ 的基础解系（$0<r<n$），$q_1,q_2$ 为 $AX=\beta$（$\beta\neq0$）的两个解向量。求 $R(A,\beta)$ 和向量组 $\{q_1-q_2, V_1, -V_2, \ldots, (-1)^{r-1}V_r\}$ 的秩。
$\beta\neq0$ 且方程组有解，故 $\beta$ 可由 $A$ 的列向量线性表出，$R(A,\beta)=R
(A)=n-r$。$q_1-q_2$ 是 $AX=0$ 的解，可由 $V_1,\ldots,V_r$ 线性表出。向量组 $\{q_1-q_2,V_1,\ldots,(-1)^{r-1}V_r\}$ 的秩为 $r$（$V_i$ 是基础解系，线性无关；$q_1-q_2$ 是其线性组合）。
(A)=n-r$。$q_1-q_2$ 是 $AX=0$ 的解，可由 $V_1,\ldots,V_r$ 线性表出。向量组 $\{q_1-q_2,V_1,\ldots,(-1)^{r-1}V_r\}$ 的秩为 $r$（$V_i$ 是基础解系，线性无关；$q_1-q_2$ 是其线性组合）。
📝 知识点总结
第四章复习向量组理论：三种线性相关性判定方法（定义法、秩法、行列式法）；向量组秩与最大无关组；方程组解的结构（$n-r$个基础解系向量）；伴随矩阵秩的经典结论。