$\Omega$ 为球体，关于 $yOz$ 面对称。$ax$ 关于 $x$ 为奇函数（$f(-x,y,z) = -ax = -f(x,y,z)$），故 $\iiint_{\Omega} ax \, dV = 0$。同理，$by$ 关于 $zOx$ 面对称且关于 $y$ 为奇函数，故 $\iiint_{\Omega} by \, dV = 0$。因此 $I = c \cdot \iiint_{\Omega} z^2 \, dV$。

球体 $x^2+y^2+z^2 \leq R^2$ 具有轮换对称性，故 $\iiint_{\Omega} x^2 \, dV = \iiint_{\Omega} y^2 \, dV = \iiint_{\Omega} z^2 \, dV = \frac{1}{3} \iiint_{\Omega} (x^2+y^2+z^2) \, dV$。于是 $I = c \cdot \frac{1}{3} \iiint_{\Omega} (x^2+y^2+z^2) \, dV$。

采用球坐标系：$x = r\sin\varphi\cos\theta$, $y = r\sin\varphi\sin\theta$, $z = r\cos\varphi$，$x^2+y^2+z^2 = r^2$，$dV = r^2\sin\varphi \, dr d\varphi d\theta$。积分区域：$0 \leq \theta \leq 2\pi$, $0 \leq \varphi \leq \pi$, $0 \leq r \leq R$。

$I = \frac{c}{3} \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi} \sin\varphi \, d\varphi \int_0^R r^2 \cdot r^2 \, dr = \frac{c}{3} \cdot 2\pi \cdot 2 \cdot \int_0^R r^4 \, dr = \frac{4\pi c}{3} \cdot \frac{R^5}{5} = \frac{4}{15}c\pi R^5$。