将三重积分 $F(t)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq t^{2}} f(x^{2}+y^{2}+z^{2}) \, \mathrm{d}V$ 转换为球坐标系下的累次积分：$F(t)=\int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{\pi} \sin\varphi \, d\varphi \cdot \int_{0}^{t} f(r^{2}) \cdot r^{2} \, dr$。

计算累次积分：$F(t)=2\pi \cdot 2 \cdot \int_{0}^{t} f(r^{2}) \cdot r^{2} \, dr = 4\pi \int_{0}^{t} f(r^{2}) \cdot r^{2} \, dr$。

计算极限 $\lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{F(t)}{t^{3}} = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{4\pi \cdot \int_{0}^{t} f(r^{2}) \cdot r^{2} \, dr}{t^{3}}$，这是 $\frac{0}{0}$ 型未定式，应用洛必达法则：$\lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{4\pi \cdot f(t^{2}) \cdot t^{2}}{3t^{2}}$。

化简表达式：$\lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{4\pi}{3} \cdot f(t^{2}) = \frac{4}{3}\pi \cdot f(0) = \frac{4}{3}\pi \times 6 = 8\pi$。