第三章 初等变换与线性方程组
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题型1：与初等矩阵相关的计算
三种初等矩阵及其逆
①互换：$E_n\xrightarrow{r_i\leftrightarrow r_j}E_n(i,j)$，$[E_n(i,j)]^{-1}=E_n(i,j)$
②倍乘：$E_n\xrightarrow{k\cdot r_i}E_n(i(k))$，$[E_n(i(k))]^{-1}=E_n(i(1/k))$
③倍加：$E_n\xrightarrow{r_i+kr_j}E_n(ij(k))$，$[E_n(ij(k))]^{-1}=E_n(ij(-k))$
②倍乘：$E_n\xrightarrow{k\cdot r_i}E_n(i(k))$，$[E_n(i(k))]^{-1}=E_n(i(1/k))$
③倍加：$E_n\xrightarrow{r_i+kr_j}E_n(ij(k))$，$[E_n(ij(k))]^{-1}=E_n(ij(-k))$
左乘初等矩阵 = 行变换，右乘 = 列变换。初等矩阵均可逆。
例1：初等矩阵的应用
确定初等矩阵A、B使 $A\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}B=\begin{pmatrix}1&3&2\\4&6&5\end{pmatrix}$。
右边交换了2、3列（右乘 $E_3(2,3)$），未做行变换。故 $A=E_2$，$B=E_3(2,3)$。
题型2：线性方程组的求解
解的判定定理（$A_{m\times n}X=b$）
无解 $\Leftrightarrow$ $R
(A)<R(A\mid b)$
有唯一解 $\Leftrightarrow$ $R(A)=R(A\mid b)=n$
有无穷多解 $\Leftrightarrow$ $R(A)=R(A\mid b)<n$
(A)<R(A\mid b)$
有唯一解 $\Leftrightarrow$ $R(A)=R(A\mid b)=n$
有无穷多解 $\Leftrightarrow$ $R(A)=R(A\mid b)<n$
克莱姆法则：若 $A_nX=b$ 且 $|A|\neq0$，则 $x_j=|A_j|/|A|$
例2：含参数的方程组
讨论 $\lambda$ 为何值时，方程组 $\begin{cases}(2-\lambda)x_1+2x_2-2x_3=1\\2x_1+(5-\lambda)x_2-4x_3=2\\-2x_1-4x_2+(5-\lambda)x_3=-\lambda-1\end{cases}$ 有唯一解、无穷多解、无解。
$|A|=(\lambda-1)^2(\lambda-10)$。$\lambda\neq1,10$时有唯一解。$\lambda=1$时 $R
(A)=R(A|b)=1<3$，无穷多解。$\lambda=10$时 $R(A)=2<R(A|b)=3$，无解。
(A)=R(A|b)=1<3$，无穷多解。$\lambda=10$时 $R(A)=2<R(A|b)=3$，无解。
题型3：与矩阵的秩相关的计算和证明
矩阵秩的8条性质
①$0\leq R(A_{m\times n})\leq\min\{m,n\}$
②$R(A^T)=R
(A)$
③若$P,Q$可逆则$R(PAQ)=R(A)$
④$R(A+B)\leq R(A)+R(B)$
⑤$R(AB)\leq\min\{R(A),R(B)\}$
⑥$A$可逆$\Rightarrow R(AB)=R(B)$
⑦$A_{m\times n}B_{n\times s}=0\Rightarrow R(A)+R(B)\leq n$
⑧$\max\{R(A),R(B)\}\leq R(A\mid B)\leq R(A)+R(B)$
②$R(A^T)=R
(A)$
③若$P,Q$可逆则$R(PAQ)=R(A)$
④$R(A+B)\leq R(A)+R(B)$
⑤$R(AB)\leq\min\{R(A),R(B)\}$
⑥$A$可逆$\Rightarrow R(AB)=R(B)$
⑦$A_{m\times n}B_{n\times s}=0\Rightarrow R(A)+R(B)\leq n$
⑧$\max\{R(A),R(B)\}\leq R(A\mid B)\leq R(A)+R(B)$
例3：利用可逆矩阵秩不变
$R(A_{4\times3})=2$，$B=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&2&0\\-1&0&3\end{pmatrix}$，求 $R(AB)$。
$|B|=10\neq0$，$B$可逆。故 $R(AB)=R
(A)=2$。
(A)=2$。
例5：秩的经典证明
设 $n$阶矩阵 $A$ 满足 $A^2=E$，证明 $R(A+E)+R(A-E)=n$。
$(A+E)(A-E)=A^2-E=0$，由性质⑦得 $R(A+E)+R(A-E)\leq n$。又$(A+E)-(A-E)=2E$，$R(2E)=n$，故 $n\leq R(A+E)+R(A-E)$。得证。
例4：含参数矩阵的秩
$A=\begin{pmatrix}1&0&-1&1&1\\0&1&1&2&1\\1&1&0&a-1&2\\2&2&a-4&6&3\end{pmatrix}$，$R
(A)=3$，求参数 $a$ 的值。
(A)=3$，求参数 $a$ 的值。
对 $A$ 做初等行变换化为行阶梯形。令非零行数为3，解出 $a$ 的取值。利用 $R
(A)=3$ 的条件，确定参数。
(A)=3$ 的条件，确定参数。
📝 知识点总结
第三章复习初等变换与线性方程组：初等矩阵三种类型及逆矩阵；线性方程组解的判定（$R
(A)=R(A|b)$）；含参数方程组讨论；矩阵秩的8条性质及其证明应用。
(A)=R(A|b)$）；含参数方程组讨论；矩阵秩的8条性质及其证明应用。